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By Hartmut Milbrodt, Manfred Helbig

Das Buch gibt eine praxisnahe und wissenschaftlich aktuelle Darstellung der Lebens- und der Pensionsversicherungsmathematik mit zahlreichen authentischen, explizit durchgerechneten Anwendungsbeispielen und umfangreichem Übungsmaterial. Behandelt werden zunäauml;chst die Modellierung der Rechnungsgrundlagen Zins und biometrisches Risiko (insbesondere Sterbetafeln) sowie der Versicherungsleistungen. Darauf aufbauend folgt die Berechnung erwarteter Barwerte und Prämien in der Personenversicherung, füuuml;r die neben sehr allgemeinen Formeln auch die traditionellen Darstellungen mittels Kommutationszahlen angegeben werden. Breiter Raum wird dem Deckungskapital gewidmet. Neben der Deckungskapitalberechnung in konkreten Fällen stehen hier Gesetzmäßigkeiten, die die Dynamik des Deckungskapitals steuern, im Mittelpunkt: Rekursionsformeln sowie Thielesche Differential- und Integralgleichungen. Untersuchungen zum Verlustrisiko runden die mathematische examine von Personenversicherungsverträgen ab. Ein abschließendes, vorwiegend betriebswirtschaftlich orientiertes Kapitel befasst sich mit der Überschussanalyse in der Lebensversicherung, beispielsweise mit dem Ertragswertbegriff, mit der Kontributionsformel und Fragen der Deckungsbeitragsrechnung. In getrennten Anhängen werden mathematische Hilfsmittel und Rechnungsgrundlagen bereitgestellt, so dass sie unmittelbar bei der Löouml;sung der fortlaufend eingearbeiteten Programmieraufgaben Verwendung finden können. Das Buch wendet sich sowohl an in der Praxis stehende Versicherungsmathematiker und angehende Aktuare als auch an wissenschaftlich täauml;tige Versicherungsmathematiker und versicherungs

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Des Kunden. 39 Beispiel (Teil 2). 3) ist für t ∈ (ν −1, ν] das retrospektive Deckungskapitel gegeben als Endwert der bisherigen Ratenzahlungen zu Zeitpunkten 0, . . , ν − 1: (r) tV = P v −t a¨ ν = S v m−t 1 − vν = tV . 43 Satz. Seien K eine Kapitalfunktion und ZL , ZP ∈ Zg unter K äquivalente deterministische gerichtete Zahlungsströme. Dann gilt (r) tV = tV , t ≥ 0. Beweis. Aus dem Äquivalenzprinzip a(ZL ) = a(ZP ) < ∞ folgt tV = K(t) · a(ZL ) − [0,t) = K(t) · [0,t) ZL (dτ ) − a(ZP ) − K(τ ) [0,t) ZP (dτ ) − K(t) · K(τ ) [0,t) ZP (dτ ) K(τ ) ZL (dτ ) (r) = t V, K(τ ) t ≥ 0.

Aufgabe 15. Schreiben Sie eine Routine, die in der Situation von Aufgabe 14 den Zinsfußp(in %) berechnet, falls diese Angabe im Eingabe-File fehlt, stattdessen aber der Barwert a oder der Endwert s angegeben ist ! Aufgabe 16. Berechnen Sie die Barwerte ¨ ∞ := lim (I n a) ¨ ∞ , (I ∞ a) n→∞ (I ∞ a) ∞ := lim (I n a) ∞ n→∞ ewig wachsender Zeitrenten ! Aufgabe 17. ¨ n ( (D a) n ) der Barwert einer n-mal vorschüssig (nachschüssig) jährlich (a) Sei (D a) zahlbaren Zeitrente, die mit dem Betrag ∈ N beginnt, die folgenden − 1 < n Jahre jährlich um 1 fällt und die restlichen n − Jahre konstant ≡ 1 ist (D: decreasing).

Betrachten Sie die Kapitalfunktion KK : [0, ∞) t −→ r [t]+1 ∈ [1, ∞) 1 + i · (1 − (t − [t])) (r = 1 + i) der kaufmännischen Verzinsung mit Zinssatz i > 0. (a) Zeigen Sie, daß KK eine absolutstetige Kapitalfunktion ist ! (b) Skizzieren Sie KG , KZ und KK , und zeigen Sie • KZ ([t]) ≤ KK (t) ≤ KZ (t) , (t −→ 0) ! • KZ (t) − KK (t) = (δ − d) t + O(t 2 ) Welche anschauliche Interpretation hat die Diskontierung gemäß KK ? (c) Berechnen Sie die Zinsintensität und die kumulative Zinsintensität von KK !

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